正１２面体・立方体・ジョンソン９１番による空間充填
Miracle Spacefilling(Dodecahedron&Cube&Johnson solid No.91)

CG animation





正５角形面４枚、正方形面２枚、正三角形面８枚からなる
ジョンソン立体９１番
というものが、きれいだというので、
作ってみたところ、３個つなげると隙間に立方体と正１２面体が浮かび上がってきました。
さっそく宮崎興二先生にお知らせしたところ、最初は訝っておられましたが、
ご自身でゾームツールで模型を作って間違いないことを確かめてくださいました。
先生によればこれは、「奇跡の空間充填」とのことです。



黄金比の象徴である正１２面体と白銀比の象徴である立方体とを空間充填に結びつける不思議な立体が、
９２種類あるといわれるジョンソン立体のなかに潜んでいたというわけです。
正１２面体は立方体の１２の稜を約３１．７度で切稜することでできますが、
もとの立方体が空間充填するように積んでいくと、正１２面体が稜を接して規則的に配列します



そのときに共有されない頂点がまわりの同様の頂点と立方体を形成し、その一辺が正１２面体の一辺と同じ長さになるのです。
(τ^2－τ)/２＝１/２

「あそびをせんとや」 さん
に作っていただいたＣＧアニメーションもぜひご覧ください。